空间域，在图像处理中，指的是像平面； 空间滤波，则是在像平面内，对像素值进行的滤波

1  空间滤波 

1.1  基本概念

    如图所示，假设点 $(x, y)$ 为图像 $f$ 中的任意点，中间正方形是该点的 3x3 邻域 (也称为 “滤波器”)

    当该邻域，从图像的左上角开始，以水平扫描的方式，逐个像素移动，最后到右下角时，便会产生一幅新的图像。

1.2  滤波机制

 输入图像 $f(x, y)$，则经过空间滤波后，输出图像为  $ g(x, y) = \sum \limits_{s=-a}^a \: \sum \limits_{t=-b}^b {w(s, t)\:f(x+s, y+t)} $， 其中 $w(s, t)$ 为滤波器模板

     形象解释：卷积核 (也即旋转180°的滤波器模板) 像手电筒一样，对图像 $f(x, y)$ 中的像素，从左至右从上到下，逐个扫描计算后，得到输出图像 $g(x, y)$

1.3  相关和卷积

  空间滤波中，相关和卷积，是易混淆的概念，以下图输入图像 $f(x,y)$ 和 滤波器模板 $w(x, y)$ 为例：

  相关 (Correlation)，和上述的滤波机制一样，即滤波器模板逐行扫描图像，并计算 每个位置像素乘积和 的过程。

  卷积 (Convolution)，和 "相关" 过程类似，但 卷积核 要 先旋转 180°，然后再执行和 “相关” 一样的操作。

  (二维中的旋转 180°，等于沿一个坐标轴翻转该模板，然后再沿另一个坐标轴再次翻转该模板）

    注意：如果滤波器模板是对称的，则对图像进行相关和卷积的结果是一样的。

2  OpenCV 函数

2.1  filter2D 函数

  OpenCV 中，可自定义滤波器模板，代入 filter2D() 中，对图像进行滤波处理

void  filter2D (
    InputArray    src,
    OutputArray   dst,
    int           ddepth,
    InputArray    kernel,
    Point       anchor = Point(-1,-1),
    double      delta = 0,
    int         borderType = BORDER_DEFAULT 
)

     其公式如下：

     $\quad dst(x, y) = \sum \limits_{0 < x' <kernel.cols, \\ 0<y'<kernel.rows} \: kernel(x', y') * src(x+x'-anchor.x,  y+y'-anchor.y) $

     可以看出，锚点 $(anchor.x, anchor.y)$ 并不是 kernel 的镜像中心。

     实际上，filter2D() 求的是 相关，不是 卷积，要得到真正的卷积 (convolution)，需要如下步骤：

     首先，使用 flip() 函数翻转 kernel，然后，设置新的锚点 $(kernel.cols - anchor.x - 1, kernel.rows -anchor.y -1)$

void  flip (
    InputArray   src,
    OutputArray  dst,
    int          flipCode // 0, flip around x-axis; 1,flip around y-axis; -1, flip around both axes 
);    

 2.2 求偏导

  下面利用 filter2D() 函数，设计滤波器模板，实现图像的一阶和二阶偏导运算。

   在 x 方向上，一阶和二阶偏导数的计算结果，如下图所示：

1)  一阶偏导

    图像在 x 和 y 方向的一阶偏导如下：

    $\frac {\partial f}{\partial x} = f(x+1,y) - f(x,y)$

    $\frac {\partial f}{\partial y} = f(x, y+1) - f(x, y)$

    则对应的滤波器模板为 $K_{x} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \end{bmatrix} $，$K_{y} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} $

  2)  二阶偏导

    同样的，在 x 和 y 方向的二阶偏导如下：

    $\frac {\partial f^2} {\partial x^2} = f(x+1, y) + f(x-1, y)- 2f(x,y)$

    $\frac {\partial f^2}{\partial y^2} = f(x, y+1) + f(x, y-1)- 2f(x,y)$

    $\frac {\partial f^2}{\partial x \partial y} = f(x+1, y+1) - f(x+1, y) - f(x, y+1)+ f(x,y)$

    则各自的滤波器模板为 $K_{xx} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} $，$K_{yy} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} $，$K_{xy} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} $

3  代码示例

#include "opencv2/imgproc.hpp"
#include "opencv2/highgui.hpp"

using namespace cv;

int main()
{
    // 读取图像
    Mat src = imread("test.bmp");
    if(src.empty()) {
        return -1;
    }
    cvtColor(src, src, CV_BGR2GRAY);

    Mat kx = (Mat_<float>(1,2) << -1, 1);  // 1行2列的 dx 模板
    Mat ky = (Mat_<float>(2,1) << -1, 1);  // 2行1列的 dy 模板

    Mat kxx = (Mat_<float>(1,3) << 1, -2, 1);     // 1行3列的 dxx 模板
    Mat kyy = (Mat_<float>(3,1) << 1, -2, 1);     // 3行1列的 dyy 模板
    Mat kxy = (Mat_<float>(2,2) << 1, -1, -1, 1); // 2行2列的 dxy 模板

    // 一阶偏导
    Mat dx, dy;
    filter2D(src, dx, CV_32FC1, kx);
    filter2D(src, dy, CV_32FC1, ky);

    // 二阶偏导
    Mat dxx, dyy, dxy;
    filter2D(src, dxx, CV_32FC1, kxx);
    filter2D(src, dyy, CV_32FC1, kyy);
    filter2D(src, dxy, CV_32FC1, kxy);

    // 显示图像
    imshow("dx", dx);
    imshow("dy", dy);
    imshow("dxx", dxx);
    imshow("dyy", dyy);
    imshow("dxy", dxy);

    waitKey(0);
} 

 输出的偏导图像如下：

参考资料：

  OpenCV Tutorials / imgproc module / Making your own linear filters

  Gonzalez,《Digital Image Processing》4th  ch3 Intesity Transformations and Spatial Filtering

  图像卷积与滤波的一些知识点，zouxy09