1.二元分类(Binary classification)

二元分类问题，即训练样本的标签$y\in$ {0,1}，一般情况下：

• 0，表示负类(Negative class)
• 1，表示正类(Positive class)

1.1 逻辑回归的假设函数(Hypothesis function)

注意，逻辑回归模型虽然带着“回归”二字，但它是一个分类算法。

1.1.1 假设函数的推导

• $h_θ(x)=g(θ^Tx)$
• $g(z) = \frac{1}{1+e^{-z}}$

从而有：$h_θ(x) = \frac{1}{1+e^{-θ^Tx}}$
注：

• g(z)被称为Sigmoid函数或者逻辑函数(Logistic function)
• g(z)的图像如下
  

1.1.2 对假设函数输出的解释

$h_θ(x)$ = estimated probability that y = 1 on input x，即对于给定的输入向量x，根据选择的参数θ，计算输出变量y=1的估值概率(estimated probability)，即$h_θ(x)$=P(y=1|x;θ)。

又因为在二元分类问题中$y\in$ {0,1}，有P(y=0|x;θ) + P(y=1|x;θ) = 1，进而：
$P(y=0|x;θ) = 1 - P(y=1|x;θ)$

1.1.3 决策边界(Decision boundary)

在逻辑回归中，我们预测：

$\begin{cases} y = 1，当h_θ(x)\ge0.5 \\ y = 0，当h_θ(x)<0.5 \end{cases}$

又因为$h_θ(x)=g(θ^Tx)$，结合Sigmoid函数的图像可知上述式子等价于

$\begin{cases} y = 1，当θ^Tx\ge0 \\ y = 0，当θ^Tx<0 \end{cases}$

下面举例来解释决策边界的概念：

• 例1：现在假设我们有一个模型：$h_θ(x)=g(θ_0+θ_1x_1+θ_2x_2)$，且参数向量$θ=\begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}$
  则当$h_θ(x)\ge0.5$，即$θ^Tx\ge0$，即$-3+x_1+x_2 \ge 0$时，模型将预测y=1。

我们可以绘制直线$x_1+x_2=3$，这条线便是我们模型的分界线，称为决策边界，将预测为1的区域和预测为0的区域分隔开，如下图中红色的线即为我们这个例子的决策边界。

• 例2：非线性决策边界。$h_θ(x) = g(θ_0+θ_1x_1+θ_2x_2+θ_3x_1^2+θ_4x_2^2)$，且$θ=\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}$(顺便提一下，这个模型是在前面提过的可以在特征中添加额外的高阶多项式，来使模型更好拟合数据。)
  则当$h_θ(x)\ge0.5$，即$θ^Tx\ge0$，即$-1+x_1^2+x_2^2 \ge 0$时，模型将预测y=1。

同样地，我们可以绘制$x_1^2+x_2^2 = 1$，这条线便是我们模型的分界线，称为决策边界，将预测为1的区域和预测为0的区域分隔开，如下图中粉红色的线即为我们这个例子的决策边界。

注： 决策边界是假设函数的一个属性，由$h_θ(x)$与参数θ确定(即$θ^Tx$确定)，并不会因数据集而改变；但是因为我们要使用数据集来拟合参数θ，故数据集会决定参数θ的取值；也就是说我们一旦有了确定的参数θ，决策边界就确定了。

1.2 逻辑回归的代价函数(Cost function)

1.2.1 回顾线性回归的代价函数

$J(θ)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\frac{1}{2}(h_θ(x^{(i)})-y^{(i)})^2$，为了方便理解，将此代价函数改写成如下形式：
$\begin{cases} J(θ)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}Cost(h_θ(x^{(i)}),y^{(i)})\\ Cost(h_θ(x),y) = \frac{1}{2}((h_θ(x)-y)^2 \end{cases}$如果在逻辑回归中继续使用线性回归的代价函数，$\begin{cases} J(θ)\\ h_θ(x)=g(θ^Tx)= \frac{1}{1+e^{-θ^Tx}} \end{cases}$，那么J(θ)就

变成了一个非凸函数(non-convex function)，因此需要重新定义逻辑回归的代价函数。

1.2.2 基于单训练样本的逻辑回归代价函数

$Cost(h_θ(x),y)=\begin{cases} \qquad-log(h_θ(x))，y=1 \\ \ -log(1-h_θ(x))，y=0 \end{cases}$，这样J(θ)就是一个凸函数。

下面我们根据图像来看一下我们的代价函数：

$h_θ(x)$与$Cost(h_θ(x),y)$之间的关系如下图所示，横轴表示$h_θ(x)$，纵轴表示$Cost(h_θ(x),y)$

y=1时，$\begin{cases} 若h_θ(x)=1，\ 即P(y=1|x;θ)=1，\ 则Cost=0\\ 若h_θ(x)\to0，即P(y=1|x;θ)\to0，则Cost\to∞ \end{cases}$

y=0时，$\begin{cases} 若h_θ(x)\to1，即P(y=1|x;θ)\to1，则Cost\to∞\\ 若h_θ(x)=0，\ 即P(y=1|x;θ)=0，\ 则Cost=0 \end{cases}$

1.2.3 逻辑回归代价函数的一般形式

$J(θ)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}Cost(h_θ(x^{(i)}),y^{(i)})$

$Cost(h_θ(x),y)=\begin{cases} \qquad-log(h_θ(x))，y=1 \\ \ -log(1-h_θ(x))，y=0 \end{cases}$，又因为在二元分类问题中y$\in$ {0,1}(总是)，

因此$Cost(h_θ(x),y) = -ylog(h_θ(x))-(1-y)log(1-h_θ(x))$，从而最终的代价函数的形式为：
$J(θ) = -\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}[y^{(i)}log(h_θ(x^{(i)}))+(1-y^{(i)})log(1-h_θ(x^{(i)}))]$

1.3 批量梯度下降法(Batch Gradient Descent)

1.3.1 梯度下降法更新公式

Repeat until convergence{$θ_j = θ_j - α\frac{\partial}{\partialθ_j}J(θ)(for \ j = 0,1,2,...,n+1)$}(同时更新所有$θ_j$)

将J(θ)带入上述更新公式中求出偏导数项，有：

Repeat until convergence{$θ_j = θ_j - α\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h(θ)(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}(for \ j = 0,1,2,...,n+1)$}(同时更新所有$θ_j$)

其中，$θ= \begin{bmatrix} θ_0 \\ θ_1 \\ θ_2 \\ \vdots \\ θ_n \end{bmatrix}$

注： 这里的更新公式与之前线性回归的更新公式表面上“看起来”完全一样，但是要注意$h_θ(x)$是不同的，

$\begin{cases} 线性回归模型：h_θ(x)=θ^Tx\\ 逻辑回归模型：h_θ(x)=\frac{1}{1+e^{-θ^Tx}} \end{cases}$

1.3.2 确保梯度下降法正常工作

如在线性回归模型中所讲，画出J(θ)关于迭代次数变化的函数图像，来看梯度下降法是否正常工作。

线性回归中提到的特征缩放，如果你的特征范围差距很大的话，那么应用特征缩放的方法，同样也可以让逻辑回归中，梯度下降收敛更快。

1.3.3 梯度下降法的向量形式

课上没有讲，自己暂时没有推导出来，先放在这里。

1.4 优化算法(Optimization algorithm)

使用优化算法时，那么我们需要做的是编写代码，当输入参数 θ 时，它们会计算出两样东西：

• J(θ)
• $\frac{\partial}{\partial θ_j}J(θ)(for \ j = 0,1,2,...,n+1)$

然后以梯度下降法为例，完成上述编码之后，就可以用梯度下降法的更新公式来更新参数θ，直至算法收敛：
Repeat until convergence{$θ_j = θ_j - α\frac{\partial}{\partialθ_j}J(θ)(for \ j = 0,1,2,...,n+1)$}(同时更新所有$θ_j$)

优化算法，除了有梯度下降法之外，还有其他更高级的优化算法：

• Conjugate descent
• BFGS
• L-BFGS

对于这三种更高级的优化算法，它们的优缺点：

优点：$\begin{cases} 不需手动选择学习率α \\ 通常比梯度下降法收敛得更快 \end{cases}$

缺点：比梯度下降法更加复杂一些。

对于以上三种高级优化算法，你并不需要去手写自己的优化算法，也不需要看懂源码，只需要会使用相应的库来实现即可。

2.多元分类(Multi-class classification)

多元分类又称为多类别分类(类别多于两个，即$\ge3$)，即$y\in${1,2,3…}(从0或者1开始都无所谓)。

通过“一对多”(one-vs-all)分类方法，就可以将逻辑回归分类器用在多类别分类问题上了。

“一对多”(或者说“一对余”) 分类方法的原理(举例子来讲解)：

现在我们有一个训练集，好比上图表示的有三个类别，我们用三角形表示 y=1，方框表示 y=2，叉叉表示 y=3。我们下面要做的就是使用一个训练集，将其分成三个二元分类问题。

我们先从用三角形代表的类别 1 开始，实际上我们可以创建一个，新的"伪"训练集，类型 2 和类型 3 定为负类，类型 1 设定为正类，我们创建一个新的训练集，如下图所示的那样，我们要拟合出一个合适的分类器。

这里的三角形是正样本，而圆形代表负样本。可以这样想，设置三角形的值为 1，圆形的值为 0，下面我们来训练一个标准的逻辑回归分类器，这样我们就得到一个正边界。

为了能实现这样的转变，我们将多个类中的一个类标记为正向类（y=1），然后将其他所有类都标记为负向类，这个模型记作$h^{(1)}_θ(x)$ 。接着，类似地第我们选择另一个类标记为正向类(y=2)，再将其它类都标记为负向类，将这个模型记作$h^{(2)}_θ(x)$ ,依此类推。

最后我们得到一系列的模型简记为：$h^{(i)}_θ(x)=P(y=i|x;θ)$，其中i=(1,2,3,…,k),k为类别数。

最后，在我们需要做预测时，我们将所有的分类机都运行一遍，然后对每一个输入变量，都选择最高可能性的输出变量。

总之，我们现在要做的就是训练这个逻辑回归分类器：$h^{(i)}_θ(x)$，其中 i 对应每一个可能的 y=i，最后，为了做出预测，我们给出输入一个新的 x 值，用这个做预测。我们要做的就是在我们三个分类器里面输入 x，然后我们选择一个让$h^{(i)}_θ(x)$最大的 i，即$max_ih^{(i)}_θ(x)$。

小结： “一对多”分类方法就是：为每个类别i都训练一个逻辑回归分类器$h^{(i)}_θ(x)$，来预测y=i的概率；对一个给定的新的输入x，取$max_ih^{(i)}_θ(x)$作为新输入x的类别。