采样后，需要对8*8block进行DCT（离散余弦变换)。为什么要进行DCT？第一点是余弦变化后的图片能量主要集中在低频，我们只需要保存低频数据，默认高频0。第二点是，DCT后的图片很适合哈夫曼压缩，对于原图而言，区域相连的pixle数值差不多，哈夫曼压缩效果差。全部代码在 https://github.com/Cheemion/JPEG_COMPRESS。

图片引用自"Compressed Image File Formats JPEG, PNG, GIF, XBM, BMP - John Miano"[1]

1.离散余弦变换直觉上的认识

假设我们有一个2*2的图片如下,最亮代表1, 最暗代表-1。

 我们普通的认识是，这是一个由4个4维向量组成的一个图片（如下）。可以看成是一个2*2的平面向量，也可以看成4维向量(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)。每个向量两两相交，并且都是单位向量。这4个基向量可以得到任何的一张2*2的图片。

（1，0，0，-1） = 1 *（1， 0， 0， 0） +  0 *（0，1， 0， 0） + 0 *（0， 0， 1， 0） + （-1） * （0， 0， 0， 1）；

离散余弦变化，其实只是把上面的4个基向量进行了变化。如下

基向量变成了（0.5，0.5，0.5, 0.5）（0.5, -0.5, 0.5, -0.5） （0.5, 0.5, -0.5, -0.5） (0.5, -0,5, -0.5, 0.5)，每个向量两两相交，并且都是单位向量。这4个基向量可以得到任何的一张2*2的图片。

所以DCT其实只是换了一个基向量而已。

下边左边第二个图为低频，因为整个图的颜色没有变化，可以认为变化频率为0

最右边的图为高频，上下和左右的颜色都变化了一次。

（1，0，0，-1） =  0 *（0.5， 0.5， 0.5， 0.5） +  1 *（0.5，-0.5， 0.5， -0.5） + 1 *（0.5， 0.5， -0.5， -0.5） + 0  * （0.5， -0.5， -0.5， 0.5）；

蓝色的系数只要通过原图和新的基向量点乘就可以得到，比如向量（0.5， 0.5， 0.5， 0.5）前面的系数为 1 * 0.5 + 0 * 0.5 + 0 * 0.5 + (-1) * 0.5 = 0;

2.离散余弦变换公式上的认识

 DCT离散余弦正变换

令G(i, j) = cos((i + 0.5) * pi * u /N) * cos((j + 0.5) * pi * u / N)， u 和 v是constant

随着u和v从0到7(因为我们的block是8*8) 不断的变化我们可以画出如下图

画图代码matlab如下

function [ out ] = g( u,v )
    p = zeros(8,8);
    for i = 0:7
        for j = 0:7
            p(i + 1,j + 1) = cos((i + 0.5) * u * pi / 8) * cos((j + 0.5) * v * pi / 8);
        end
    end
    out = p;
end

matlab画图代码

clc; clear; close all;
figure;
maximum = 0;
minimum = 100;
for u = 0:7
    for v = 0:7
        pp = g(u,v)
        subplot(8, 8, u * 8 + v + 1);
        imshow((pp + 1) ./ 2);
    end
end

matlab画图代码主函数

乘以系数c(u)c(v)是使我们的G(i, j)变成单位向量。公式剩余部分就是点乘的过程。

 IDCT逆变换

3.代码

void DCT(Block& block) {
    Block temp;
    std::memcpy(&temp, &block, sizeof(Block)); //copy from original
    //8 rows
    //DCT行变化
    for(uint i = 0; i < 8; i++) {
        double* f = &temp[i * 8]; //one dimension Array , and will perform DCT on it
        for(uint k = 0; k < 8; k++) {
            double sum = 0.0;
            for(uint n = 0; n < 8; n++){
                sum = sum + f[n] * std::cos(((n + 0.5) * M_PI * k / 8));
            }
            sum = (k == 0) ? (sum * std::sqrt(1.0 / 8)) : (sum * std::sqrt(2.0 / 8));
            block[i * 8 + k] = sum;
        }
    }
    
    std::memcpy(&temp, &block, sizeof(Block)); //copy from 
    //DCT列变化
    for(uint i = 0; i < 8; i++) {
        double* f = &temp[i]; //one dimension Array with 8 steps increment , and will perform DCT on it
        for(uint k = 0; k < 8; k++) {
            double sum = 0.0;
            for(uint n = 0; n < 8; n++){
                sum = sum + f[n * 8] * std::cos(((n + 0.5) * M_PI * k / 8));
            }
            sum = (k == 0) ? (sum * std::sqrt(1.0 / 8)) : (sum * std::sqrt(2.0 / 8));
            block[i + k * 8] = sum;
        }
    }
}

 以上全部的代码在https://github.com/Cheemion/JPEG_COMPRESS/tree/main/Day3

 完结

  Thanks for reading.

   wish you have a good day.

                                                                                                                                                                                                                                                              >>>> JPG学习笔记4      

参考资料

[1]https://github.com/Cheemion/JPEG_COMPRESS/blob/main/resource/Compressed%20Image%20File%20Formats%20JPEG%2C%20PNG%2C%20GIF%2C%20XBM%2C%20BMP%20-%20John%20Miano.pdf