前面我们介绍了离散曲面的曲率流理论，曲面上配备着欧氏度量带有奇异点。这次，我们介绍双曲离散曲面的曲率流理论。对于欧拉示性数为负的曲面，其单值化度量自然是双曲度量。双曲度量具有非常多的优点，因此在工程实践中起到了非常根本的作用。

例如双曲度量下，每个曲线同伦类中存在唯一的测地线，两条封闭曲线同伦当且仅当它们可以同伦变换成同一条测地线，因此可以将拓扑问题转化成几何问题。再如，如果源曲面和目标曲面同胚，目标具有双曲度量，那么调和映照存在并且唯一，并且调和映照为微分同胚。这在曲面配准问题中，具有重要作用。

计算曲面双曲度量的最为简单方法就是双曲离散曲面的曲率流方法。

双曲背景几何

图1. 多面体曲面。

图2. 常曲率测地三角形。

双曲离散曲面曲率流

图3. 双曲三角形。

图4. 广义双曲四面体。

双曲离散曲率流的拓扑应用

图5. 亏格为2的曲面上的双曲度量。

图6. 最短词问题。

图7. 将基本群基底同伦变换成测地线。

 图8. 亏格为2的曲面的双曲度量，及其万有复迭空间的等距嵌入。

双曲共形模

图9. 亏格为3的曲面的共形模计算。

总结

Reference

• M. Zhang, R. Guo, W. Zeng, F. Luo, S-T Yau and X. Gu, The unified discrete surface Ricci flow，Graphics Models Vol 76 (5), Pages  321-339, 2014.

• X. Gu, R. Guo, F. Luo, J. Sun and T. Wu, A discrete Uniformization theorem for polyhedral surfaces II, Journal of Differential Geometry, 2016

  (arXiv:1401.4594) 

原文发布在【老顾谈几何】公众号 （2017年8月19日）

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