Libre 6005 「网络流 24 题」最长递增子序列 / Luogu 2766 最长递增子序列问题（网络流，最大流）

Description

问题描述：

给定正整数序列x1,...,xn 。

（1）计算其最长递增子序列的长度s。

（2）计算从给定的序列中最多可取出多少个长度为s的递增子序列。

（3）如果允许在取出的序列中多次使用x1和xn，则从给定序列中最多可取出多少个长度为s的递增子序列。

编程任务：

设计有效算法完成（1）（2）（3）提出的计算任务。

Input

第1 行有1个正整数n，表示给定序列的长度。接下来的1 行有n个正整数n:x1, ..., xn。

Output

第1 行是最长递增子序列的长度s。第2行是可取出的长度为s 的递增子序列个数。第3行是允许在取出的序列中多次使用x1和xn时可取出的长度为s 的递增子序列个数。

Sample Input

4
3 6 2 5

Sample Output

2
2
3

Http

Libre:https://loj.ac/problem/6005
Luogu:https://www.luogu.org/problem/show?pid=2766

Source

网络流，最大流

解决思路

看清题目，不是最长递增子序列是最长不下降子序列。
这道题目首先运用动态规划的方式求出最长不下降子序列，这也是第一问的内容。注意，本题不能使用单调队列的方式，因为要求出到每一个数的最长不下降子序列长度（后面记为F），这在后两问中要用。
那么如何求解第二问呢？
我们把每一个数拆成两个点入点和出点，在每一个数的入点和出点之间连容量为1的边，同时设置一个源点一个汇点。从前往后扫描每一个数，若发现第i个数的F[i]最长不下降子序列长度，则在源点与i的出点之间连一条容量为1的边。若F[i]1，则在其出点与汇点之间连一条容量为1的边。并且，对于任何数i，扫描其前面的每一个数j，若F[i]==F[j]+1且第j位的数<=第i位的数，则在i的出点与j的入点之间连一条容量为1的边。
这样建图，有点类似于分层图的思想，从最高层的F为最长不下降子序列长度，往下每一层长度减一，直到最底下一层长度为1。这样我们跑一边最短路就可以了。
至于第三问，我们只要在重新建图的时候把1到汇点,1的入点到出点，n的入点到出点，源点到n（如果存在的话）这几条边设置为无穷大即可。
但要注意，第三问要特判一下递减的情况，因为这样最长不下降子序列长度为1，跑最大流会出现无穷大的流的情况。
另：这里用Dinic求解最大流，具体请移步我的这篇文章

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxN=2000;
const int maxM=maxN*maxN*4;
const int inf=147483647;

class Edge
{
public:
	int u,v,flow;
};

int n;
int cnt=-1;
int F[maxN];
int Arr[maxN];
int Head[maxN];
int Next[maxM];
Edge E[maxM];
int depth[maxN];
int cur[maxN];
int Q[maxM];

void Add_Edge(int u,int v,int flow);
bool bfs();
int dfs(int u,int flow);

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&Arr[i]);
	for (int i=1;i<=n;i++)//动态规划求出最长不下降子序列
	{
		F[i]=1;
		for (int j=1;j<i;j++)
		    if (Arr[j]<=Arr[i])
				F[i]=max(F[i],F[j]+1);
	}
	int maxlength=1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		maxlength=max(maxlength,F[i]);//得出第一问答案
	printf("%d\n",maxlength);
	memset(Head,-1,sizeof(Head));
	for (int i=1;i<=n;i++)//构造第二问的图
	{
		Add_Edge(i,i+n,1)//连接入点和出点
		if (F[i]==maxlength)//若与最长长度相同，则连接源点
			Add_Edge(0,i,1);
		if (F[i]==1)//若为最小长度1，则连接汇点
			Add_Edge(i+n,n*2+1,1);
		for (int j=1;j<i;j++)
			if ((F[j]==F[i]-1)&&(Arr[j]<=Arr[i]))//向前统计能连的
				Add_Edge(i+n,j,1);
	}
	int Ans=0;//求解最大流
	while (bfs())
	{
		for (int i=0;i<=2*n+1;i++)
			cur[i]=Head[i];
		while (int di=dfs(0,inf))
			Ans+=di;
	}
	cout<<Ans<<endl;
	memset(Head,-1,sizeof(Head));
	cnt=-1;
	for (int i=1;i<=n;i++)//构造第三问的图
	{
		int nowflow=1;
		if ((i==1)||(i==n))//1和n的流量为无穷大
			nowflow=inf;
        if (maxlength==1)//注意这里特判递减序列的情况
            Add_Edge(i,i+n,1);
        else
            Add_Edge(i,i+n,inf);
		if (F[i]==maxlength)
			Add_Edge(0,i,nowflow);
		if (F[i]==1)
			Add_Edge(i+n,n*2+1,nowflow);
		for (int j=1;j<i;j++)
			if ((F[j]==F[i]-1)&&(Arr[j]<=Arr[i]))
				Add_Edge(i+n,j,1);
	}
	Ans=0;//求解最大流
	while (bfs())
	{
		for (int i=0;i<=2*n+1;i++)
			cur[i]=Head[i];
		while (int di=dfs(0,inf))
			Ans+=di;
	}
	cout<<Ans<<endl;
	return 0;
}

void Add_Edge(int u,int v,int flow)
{
	cnt++;
	Next[cnt]=Head[u];
	Head[u]=cnt;
	E[cnt].u=u;
	E[cnt].v=v;
	E[cnt].flow=flow;

	cnt++;
	Next[cnt]=Head[v];
	Head[v]=cnt;
	E[cnt].v=u;
	E[cnt].u=v;
	E[cnt].flow=0;
}

bool bfs()
{
	memset(depth,-1,sizeof(depth));
	int h=1,t=0;
	Q[1]=0;
	depth[0]=1;
	do
	{
		t++;
		int u=Q[t];
		//cout<<u<<endl;
		for (int i=Head[u];i!=-1;i=Next[i])
		{
			int v=E[i].v;
			if ((depth[v]==-1)&&(E[i].flow>0))
			{
				depth[v]=depth[u]+1;
				h++;
				Q[h]=v;
			}
		}
	}
	while (t!=h);
	if (depth[n*2+1]==-1)
		return 0;
	return 1;
}

int dfs(int u,int flow)
{
	if (u==n*2+1)
		return flow;
	for (int &i=cur[u];i!=-1;i=Next[i])
	{
		int v=E[i].v;
		if ((depth[v]==depth[u]+1)&&(E[i].flow>0))
		{
			int di=dfs(v,min(flow,E[i].flow));
			if (di>0)
			{
				E[i].flow-=di;
				E[i^1].flow+=di;
				return di;
			}
		}
	}
	return 0;
}